等比数列求和 - 彩色打印版
等比数列求和是指将等比数列的前n项相加的过程，记作 \(S_n\)。
例如：等比数列 3, 6, 12, 24, ... 的求和为 \(3 + 6 + 12 + 24 + ...\)。
\[S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\]
其中：\(a\) 是首项，\(r\) 是公比，\(n\) 是项数
\[S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\]
其中：\(a\) 是首项，\(r\) 是公比，\(n\) 是项数
\[S_n = na\]
此时数列为常数列，每一项都等于首项 \(a\)
错位相减法的关键在于将和式乘以公比后相减，使得中间项相互抵消，从而简化计算。
题目：求等比数列 \(2 + 6 + 18 + 54 + ...\) 的前10项和。
解答：
首项 \(a = 2\)，公比 \(r = 3\)
因为 \(r > 1\)，使用公式：\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_{10} = \frac{2(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(59049 - 1)}{2} = 59048\)
题目：求等比数列 \(1024 - 512 + 256 - 128 + ... + 1\) 的和。
解答：
首项 \(a = 1024\)，公比 \(r = -\frac{1}{2}\)
先求项数：\(1024(-\frac{1}{2})^{n-1} = 1\)，得 \(n = 11\)
因为 \(|r| < 1\)，使用公式：\(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_{11} = \frac{1024(1 - (-\frac{1}{2})^{11})}{1 - (-\frac{1}{2})} = 1366\)
题目：求使等比数列 \(1 + 2 + 4 + 8 + ...\) 的和超过2000000的最少项数。
解答：
首项 \(a = 1\)，公比 \(r = 2\)
使用公式：\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 2^n - 1\)
要使 \(S_n > 2000000\)，即 \(2^n - 1 > 2000000\)
\(2^n > 2000001\)
两边取对数：\(n\log 2 > \log(2000001)\)
\(n > \frac{\log(2000001)}{\log 2} \approx 20.9\)
因为n必须是正整数，所以需要21项。
在使用公式时，要特别注意公比 \(r\) 的值。当 \(r = 1\) 时，公式不适用，需要使用特殊公式 \(S_n = na\)。
1. 混淆首项和第一项：首项是 \(a\)，第一项是 \(a\)，第二项是 \(ar\)
2. 公比计算错误：公比 \(r = \frac{a_2}{a_1}\)，要注意符号
3. 公式选择不当：要根据 \(|r|\) 的大小选择合适的公式
4. 忽略特殊情况：当 \(r = 1\) 时，不能使用一般公式